小平邦彦谈数学教育

我是一个除了数学之外什么都不懂的数学家，特别是对经济一无所知。据说，日本经济正在从高速增长转向低速增长。高速增长指的是国内生产总值年增长率超过 10％，低速增长指的是年增长率为 6％左右的经济增长。也就是说，只有年增长率保持在 6％左右， 经济才不会陷入不景气的状况。

排除第二次世界大战结束不久的混乱期，假设经济在 1949 年到 1974 年的 25 年间每年的增长率都是 10％，那么总计(1.1)^25 = 10.83, 即经济增长了 10 倍。包括山手线、东海道线等铁路的客运量、机动车数量、石油使用量、报纸页数等在内的所有现状都是 1949 年的 10 倍以上。 

如果经济一直保持 6％的增长率，等我的孙子长到我现在的年纪， 即 60 年后的经济发展会有怎样天翻地覆的变化呢？ (1.06)^60 = 32.99 ，经济增长相当于现在的 30 倍以上。例如东京 - 大阪间架设新新干线、新新新干线，增开 30 趟新干线，山手线没办法

继续横向扩充，只能开发地下空间，届时地上、地下合计将超过 30 层，每天送来的报纸页数将超过 500 页。显然上述预想并不合理， 因此我们需要把数量上的增长转化成质量上的增长，而这又只能取决于科学技术的进步。科学技术的基础是数学，数学教育对日本产业的将来有着决定性作用。下面我来谈谈日本的数学教育现状。

目前日本的小学、初中、高中教材都按照日本文部省的指导纲领编写，其内容涉及的数学领域偏多，让人感到惊讶。小学阶段涉及集合、概率，初中阶段除了基础代数、几何以外，还包括集合、概率、统计、拓扑学，高中阶段在代数、几何、微积分的基础上增加了矢量、映射、集合、逻辑、矩阵、平面几何的公理结构、概率和统计。如果在有限的时间里接触如此多的数学领域，每个领域的学习只能停留在入门程度，略懂皮毛而已。

例如在小孩子学习音乐，没人会让他先接触一遍管弦乐队的所有乐器，这样的话不可能学会任何乐器，而且对音乐本身也是一知半解。

再例如小孩子学习外语，我们绝对不会让他同时接触英语、德语、法语、俄语、拉丁语、希伯来语、阿拉伯语等多门语言。

在初等教育阶段的数学教学中涉及较多领域就像是学习所有乐器或者学习多门外语一样愚蠢，不过为什么对于数学却没有人在意这个问题？现在的数学教育中甚至会采用螺旋式教学，例如在小学六年级稍微学习数学某个领域的一部分内容，初二再学一部分，到了高一和高二继续学一部分。这就好比在小学六年级学几周拉丁语， 初二再学几周，高一和高二继续学几周，这样的教育方法最没有效率。人学过几周新知识，而且总学时不过几小时的程度，一年后肯定忘得干干净净，按理说制定指导纲领的委员们应该懂得这个道理才对。

除了想要成为数学家的学生以外，对大部分学生而言，小学、初中、高中阶段涉及的多个领域，例如集合、逻辑、拓扑学等知识并没有必要。有人主张因为集合论是现代数学的基础，所以数学教育也应该从集合开始教学，这个所谓的数学教育现代化导致学生必须小学阶段开始学习集合知识。

实际上“集合论是现代数学的基础”的意思是数学从两千年前发展到现在，在目前这个阶段多年研究集之大成，集合论是分析其结构，记录其体系的基础。然而小孩子学习数学是为了培养其数学能力，因此初等教育阶段的数学教学应该遵循数学的历史发展顺序。对小孩子而言，历史上较早出现的概念比逻辑上的基础概念更简单易懂。到高中结束为止，我们最多学到 17 世纪后半期至 18 世纪产生发展起来的微积分入门知识。集合论于 19 世纪后半期由康托尔建立，目的是为了处理类似整个实数集合这样的无限集合。

即使逆转历史发展顺序教中小学生学习集合，孩子们也理解不了集合论的核心内容，只能接触无趣的非核心部分，也就是集合论的皮毛。这样一来，时间和精力都浪费在皮毛上，最终忽视了真正的数学。

如字面所示，数学是数字的学问，其最重要的基础是数字计算。初等教育阶段最重要的是掌握和训练基本的学习能力，即小时候没有掌握的话长大以后基本学不会的能力，这与长大以后也能轻松掌握的能力有着明显的区别（包括数学在内的整个初等教育貌似遗忘了基本学习能力的重要性。据说有些小学还开设了家庭生活课， 要求男生也掌握煎蛋的方法。煎蛋这种事情任何人在长大以后都能学会，完全没有必要在小学教学生如何煎蛋。综上所述，把时间浪费在这些课程上，结果导致基础学习能力水平下降，这个现象实在是令人费解）。

如果在小学阶段没有反复练习数字计算、掌握数字计算方法的话，长大以后就很难能掌握这种能力了。不过集合论是数学家们必须要掌握的常识，一般进入大学后只需听两小时课程就能理解。如此可见，教中小学生学习集合本身就是一个错误。在小学的算术课上，最重要的环节是让学生反复理解和练习数字计算，以培养基本的数学学习能力。

推进数学现代化的，并不是正在小学讲授集合论的老师，而是通过集合指导现代数学思考方式的人。不过数字计算是数学思考能力的基础，如果有人认为存在另一种更高级的数学思考方式，那一定是对数学的本质存在误解。

据说，大概有一成的日本初中生甚至都不会简单的分数加法运算。既然连分数加法运算都不会，即便给他们讲解集合的知识，不管怎么教也都无济于事。如果学习集合有助于培养数学思考方式的话，按理说分数的加法运算应该是小菜一碟。但事实上有一小部分

初中生却无法掌握，那么说明数学现代化的想法存在误区。对不是数学家的那部分人来说，集合论没有什么用处，例如现在活跃在第一线的自然科学家、工程师等基本没有学过集合论。

逻辑相当于是数学的语法，我们在多年阅读、撰写文章的过程中，自然而然地掌握了撰写文章时使用的语法，并不是以前在初中语文课上学过的语法。因此，我们可以自由自在地灵活使用。就像不管我们如何努力地学习英语语法，也不一定能自由地撰写英语文章。

数学中的逻辑也是如此，我们数学家在学习数学的过程中自然而然地会掌握逻辑，除非是数理逻辑学的专家，否则就不用重新学习逻辑知识。目前的指导纲领要求在高一讲授逻辑，数学家都不一定要学的知识，为何偏偏要求高中生学习呢？这又是一个令人费解的问题。

初等教育阶段的数学教学并不是为了片面地讲授数学各个领域的知识，而是为了培养数学思考能力和数感。因此最好将教学范围限定在最基础的数学领域，然后开展充分的教学。小学阶段学习数字计算，初中阶段学习代数和几何，高中阶段学习代数、几何和微积分入门，如果学生能熟练地掌握这些知识，那说明初等教育取得巨大的成功。

概率、统计等应用领域的内容，只要在用到时稍加学习就能掌握。到那时，在学习基础领域过程中养成的强韧思考能力远比一知半解的入门知识来得更加有用。给小学生讲授概率的皮毛，简直荒谬。推进数学教学现代化的人，在追随现代数学日新月异的步伐， 努力改良数学教育，然而进步的是最前沿的数学研究，数学的基本知识并未发生变化。据我所知，目前从事数学研究的数学家们都反对数学教育的现代化。尽管如此，现代化依然在数学教育界大行其道，实在不可思议。

日本的数学教育从小学阶段开始就混杂各种各样的内容，包括小时候必须要学习的基础领域，长大以后也能掌握的应用领域，以及对数学家来说有用的领域，这种现象十分怪异，令人费解。如此急切地讲授如此多的内容到底是为了什么、为了谁？对于日本，数学是未来科学技术的基础。然而初等教育阶段的数学教学一直保持这副德性的话，不管日本通产省如何努力，日本产业的将来也令人忧心不已。（《通产专刊》1976 年 4 月刊）

本文选自小平邦彦先生的《惰者集：数学与数感》

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